Legitimateとlegitは同じwordです。
英語の意味は色々ありますが主に、
“in accordance with established rules, principles, laws, or standards.” etc. です。
「正当な、本物の、確かな、正規の、合法な、適法な、もっともな、道理にかなった、合理的な、」等の訳になります。
通常は形容詞ですが、動詞・名詞の使い方もあります。
Legitはlegitimateのshort formです。
Legitはちゃんと辞書に書いてあるので、
まとも(legitimate)な単語なのですが、
響きとしては、結構informalな感じで
若者達が使うスラングっぽい感じでもあります。
ですから、ビジネス英語・ビジネス英会話では、
legitimateを使いましょう。
友達との会話では、legitでもOKです。
因に、legitimateの読み方・発音はこちらです。