Nobody’s businessとは、 none of one’s business/none of your businessの意味です。None of one’s businessのちょっとinformalなバリエーションですかね。
「関係ない」みたいな訳になります。
None of one’s businessの表現では、通常は “one’s” より “my/your/his/her/our/their” を使います。
none of your business 「あなたには関係ない」
none of his business 「彼には関係ない」
None of one’s businessの英語での意味は、
“not of one’s/your concern” , “do not interest yourself in matters that do no involve you”等です。
一方、like nobody’s businessの意味は「関係ない」と全然関係ないです。
Likeを付けるだけで、完全に意味が変わります。
Like nobody’s businessの１つの意味は、
“In an extreme manner, rapidly, excessively, like crazy” です。
「ものすごい勢いで、ものすごく、狂気のように、大きな速度、努力、または、強度を伴って、猛烈に、」等の意味です。
He spends money like nobody’s business.
それは、He spends money rapidly/excessively/like crazy.の意味です。
しかし、”like nobody’s business”にはもう１つの “Very well, very much, very easily”の意味があります。
「とても上手に、とても（上手だから）楽に・簡単に」等の訳になります。
He can sing that song like nobody’s business.
He can sing that song very well. の意味です。「彼はとても上手にあの歌を歌えます。」みたいな感じですね。
因に、”like nobody’s business”はinformalな表現ですので、ビジネスレポート等では通常使いません。
英語の文法練習はこのテキスト・Understanding and Using English Grammar with Audio CDs and Answer Key (4th Edition)をお勧めです。文法の参考書は、こちらのガイド・Practical English Usage
も実用的です。私も両方レッスンで使っています。