Conjunction 接続詞として使う場合は、どっちでも良いです。両方使えます。

 

I read a book while I was waiting.

I read a book whilst I was waiting.

 

名詞で使う場合は、while　だけしか使えません。

 

She studied for a while before going to bed.

 

 

動詞でも、while　だけです。

 

I used to while away the time at the river bank.

 

アメリカ英語では、whilst　は　old-fashioned　な感じ・響きで日常会話では使いません。Writingでも、とあるスタイルの　fiction writing以外は、使わなくていいと思います。
 
英語の文法練習はこのテキスト・Understanding and Using English Grammar with Audio CDs and Answer Key (4th Edition)をお勧めです。文法の参考書は、こちらのガイド・Practical English Usageも実用的です。私も両方レッスンで使っています。