Appetizerとappetiserの違いはスペリングです。
意味は同じです。
アメリカ英語では、appetizerです。
Appetiserはイギリス英語のスペリングです。
Oxford Dictionaryを見ると、appetizerのエントリーに「(also appetiser)」と書いてあります。
イギリス英語だと、両方使えると言う事でしょうか?
Appetiserの方がイギリス英語ではよく使われると思います。
一方、アメリカ英語の場合はほとんどappetizerです。
因に、今私が使っているワープロソフトのスペルチェックは、appetiserは間違っていると表示しています。
英語の文法練習はこのテキスト・Understanding and Using English Grammar with Audio CDs and Answer Key (4th Edition)をお勧めです。文法の参考書は、こちらのガイド・Practical English Usageも実用的です。私も両方レッスンで使っています。